Прозвенел звонок с последнего урока, и ученики устремились в столовую. Пошел туда и учитель. Ученики проголодались сильнее и прибежали в столовую быстрее. В этот момент учитель прошел 80 метров. Но учеников без учителя кормить не стали, и они побежали назад. Когда они встретились с учителем, он прошел еще 16 метров. Определите расстояние от класса до столовой?
Решите неравенство |x3–1|>1–x.
Докажите, что в записи числа 230 есть по крайней мере две одинаковые цифры, не вычисляя его.
Докажите, что общая площадь «треугольников-сталактитов» на рисунке равна площади «треугольников-сталагмитов». Точки на сторонах прямоугольника выбираются произвольно.
Вариант 2
В первый день своих 90-дневных летних каникул Сережа купался, ходил в соседнюю деревню за «Сникерсами» и решал задачи для подготовки к обучению в колмогоровском интернате. От этого он очень устал и в дальнейшем решил купаться через день, ходить за «Сникерсами» каждый 3-й день и решать задачи каждый 5-й день (считая с первого дня). Сколько у него будет «приятных» дней, когда он будет только купаться?
Докажит, что уравнение x2–1995x+10a+1=0 не имеет целых корней ни при каком целом а.
В ромбе ABCD угол BAD равен 60°. На сторонах АВ и ВС взяты точки Е и F так, что ÐEDF=60°. Докажите, что треугольник DEF равносторонний.
Решите систему уравнений
Заочный экзамен
Экзамен в 9-й класс
Вариант 1
Найдите , если известно, что x+у+z=0.
Угол между диагоналями трапеции равен 120°, одна из ее диагоналей равна 4, а высота равна 2. Найдите длину второй диагонали.
Найдите все такие натуральные числа n, что НОК(1995;n)=(НОД(1995;n))2, где через НОД(a;b) и НОК(a;b) обозначены соответственно наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел a и b.
Решите систему уравнений
Может ли сумма 1995 последовательных натуральных чисел быть 1995-й степенью натурального числа?
Экзамен в 10-й класс
Вариант 1
Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения если числа x, у, z могут принимать только значения 1, 2, 3, 4 и 5, причем х≠z, y≠x, y≠z.
Найдите площадь трапеции, если известно, что ее диагонали перпендикулярны, высота равна 4, а длина одной из диагоналей равна 5.
Рассмотрим графики функций у=x2+px+q, которые пересекают оси координат в трех различных точках. Докажите, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих точках, имеют общую точку.
Решите систему уравнений
Найдите какое-нибудь натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна 1996.
, если известно, что x + у + z = 0.
