Сколько страниц содержит книга, если для нумерации всех ее страниц было использовано 875 цифр? (А) 659; (В) 661; (С) 663; (D) 665; (Е) ни один из ответов A, В, С, D не подходит.
Через один кран вода заполняет бак за 3 часа, через второй – за 9 часов. За какое время вода заполнит бак, если открыть оба крана? (А)2 часа 15 мин; (В)2 часа 50 мин; (С)4 часа; (D)6 часов; (Е)12часов.
На стороне АВ параллелограмма ABCD взята точка L, а на стороне ВС – точка K так, что BL=АВ, ВK=ВС. Тогда отношение DO:OL, где O – точка пересечения прямых АK и LD, равно: (А) 2; (В); (С); (D) 3; (Е) ни один из ответов A, B, С, D не подходит.
В результате инфляционных процессов цены выросли на 900%. Оппозиция потребовала от правительства возвращения цен к прежнему уровню. На сколько должны быть уменьшены цены? (А) на 900%; (В) на 450%; (С) на 225%; (D) на 95%; (Е) на 90%.
Свежие сливы содержат 94% воды, а сушеные – 4% воды. Сколько получится сушеных слив из 12кг свежих? (А) 1250г; (В) 1кг; (С) 775г; (D) 750г; (Е) 0,5кг.
По шоссе в одну сторону с постоянными скоростями движутся автомобиль и мотоциклист, а навстречу им с постоянной скоростью идет пешеход. Когда автомобиль и мотоциклист были в одной точке, до пешехода было 30км. Когда автомобиль и пешеход встретились, мотоциклист отстал от автомобиля на 5км. На сколько километров обогнал автомобиль мотоциклиста на момент встречи мотоциклиста и пешехода? (А) На 2км; (В) На 3км; (С) На 4км; (D) На 5км; (Е) На 6км.
Если катеты треугольника равны 12 и 16, то длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна:(А) 10; (В) 10.2; (С) 9.6; (D) 9; (Е) 8.
Устный экзамен
Экзамен в 9-й класс
Вариант 1
Периметр квадрата, увеличили на 60%, а затем уменьшили на 60%. Как и во сколько раз изменилась площадь квадрата?
a, b, с – три различные цифры. Если сложить все шесть двузначных чисел, которые можно записать с их помощью, не повторяя одну и ту же цифру в числе дважды, то получим 528. Найдите эти цифры.
Четыре ученицы: Мария, Нина, Ольга и Полина заняли на олимпиаде первые 4 места. На вопрос, кто из них какое место занял, они ответили:1) Ольга – второе, Полина – третье;2) Ольга – первое, Нина – второе;3) Мария – второе, Полина – четвертое.В каждом из трех ответов одна часть верна, а другая неверна. Какое место заняла каждая из учениц?
В треугольнике АВС проведена высота AD на основание ВС. Известно, что АС>АВ. Что больше: DC–DB или АС–АВ?
Для каждого действительного числа x через f(x) обозначим минимальное из чисел –x2, x–2, 2–3х. Найдите наибольшее значение функции f(x).
В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении 1:3. В каком отношении делит ее высота, опущенная из прямого угла?
Найдите максимальное значение произведения xy, если известно, что x+2у=1.
Четыре мотоциклиста одновременно стартовали в одном направлении из одного пункта в гонке по кольцевой трассе. В некоторый момент все мотоциклисты поравнялись друг с другом. Известно, что до этого момента первый мотоциклист обогнал второго 1 раз, второй мотоциклист обогнал третьего 3 раза, третий мотоциклист обогнал четвертого 2 раза. Сколько раз до этого момента первый мотоциклист обогнал четвертого?
Вариант 3
На прямой расположено пять точек: A, В, С, D, Е (именно в таком порядке). Известно, что АВ=200м, CD=7м, AC=BE. Найдите длину отрезка DE. Найдите наименьшее натуральное число, вычеркиванием цифр из записи которого можно получить запись любого натурального числа от 1 до 32.
Мимо наблюдателя по проспекту Маршала Гречко проехали с равными промежутками времени автобус, мотоцикл и бронетранспортер. Мимо другого наблюдателя на той же дороге они проехали с такими же промежутками, но в другом порядке: автобус, бронетранспортер, мотоцикл. Найдите скорость автобуса, если скорость бронетранспортера 60км/ч, мотоцикла – 30км/ч.
Функция f(x) задана при всех вещественных x и при всех вещественных x удовлетворяет неравенству – ≥ 3. Докажите, что для каждого вещественного x выполняется неравенство f(x)≥
Длины сторон остроугольного треугольника АВС удовлетворяют неравенствам АВ>ВС, АС>ВС. На прямых АС и АВ отмечены соответственно точки В1 и C1, отличные от точки A и такие, что BB1 =ВА и CC1 =СА Пусть A1 – точка, симметричная A относительно прямой ВС. Докажите, что ÐАВС=ÐСС1А1.
Экзамен в 10-й класс
Вариант 1
На поле брани встретились армии Толстых и Тонких, по 1000 человек в каждой. Сначала каждый Толстый выстрелил в одного из Тонких. Затем каждый уцелевший Тонкий выстрелил в одного из Толстых. После этого у армий кончились патроны. Докажите, что в живых осталось не менее 1000 солдат.
Пешеход вышел из A в B, чтобы придти в B через 4 часа. Одновременно из B выехал велосипедист, который проезжает это расстояние за один час. Через 48 минут после их встречи из B в A выехал другой велосипедист, который проезжает этот путь за 2 часа. За сколько минут до своего прибытия в B пешеход встретится со вторым велосипедистом?
Борис задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 8, опять зачеркнул последнюю цифру результата и получил число 20. Какое число задумал Борис? Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = АС) на стороне АВ взята точка K, а на стороне AC – точка L так, что AK=CL. Докажите, что KL не меньше половины BC.
Функция f(x) задана при всех вещественных x и при всех вещественных x удовлетворяет неравенству .
Докажите, что для каждого вещественного числа x выполняется неравенство f(x)≥4.
Докажите, что для любых a, b и g справедливо неравенствоsina×cosb×sing+cosa×sinb×cosg£1.
Вариант 2
Найдите две последние цифры числа 1!+2!+3!+…+100!
Три землекопа, работая одновременно, выкопали за 1 час работы 7/10 траншеи. Известно, что если бы каждый из них копал траншею самостоятельно, то ему на всю работу потребовалось бы целое число часов. Известно также, что землекопы работают с разной скоростью. Выясните, за сколько часов выкопают траншею каждый из них?
Углы треугольника, вершинами которого служат основания высот треугольника АВС, равны 30°, 60°, 90°. Найдите углы треугольника ABC.
О – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Известно, что площади треугольников AOB и COD равны 2 и 8. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD не меньше 18.
У чисел 10002, 10012, 10022, ... отбрасываются последние две цифры. Найдите максимальное число первых членов этой последовательности, образующих арифметическую прогрессию.
Вариант 3
Для участников экзамена в ФМШ было приготовлено конфет столько же, сколько вместе булочек и стаканов чая. Каждый школьник съел по конфете и выпил по стакану чая, после чего осталось стаканов чая и конфет вместе столько же, сколько булочек. Остался ли еще чай?
Пешеход вышел из A в B, чтобы придти в B через 5 часов. Одновременно из B выехал велосипедист, который проезжает это расстояние за один час. Через 50 минут после их встречи из B в A выехал другой велосипедист, который проезжает этот путь за 1 час 40 минут. За сколько минут до своего прибытия в B пешеход встретится со вторым велосипедистом?
Толя задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, опять зачеркнул последнюю цифру результата и получил число 21. Какое число задумал Толя? Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.
В треугольнике АВС через AA1, BB1и CC1 обозначим высоты, а через AA2 , BB2 , и CC2 , медианы. Докажите, что длина ломаной A2B1C2A1B2C1A2 равна периметру треугольника АВС.
Функция f(x) задана при всех вещественных x и при всех вещественных x удовлетворяет неравенству.
Докажите, что для каждого вещественного x выполняется неравенство f(x)≥9.
Вариант 4
а, b, с – три различные цифры. Если сложить все шесть двузначных чисел, которые можно записать с их помощью, не повторяя одну и ту же цифру в числе дважды, то получим 132. Найдите эти цифры.
Четыре ученицы Мария, Нина, Ольга и Полина заняли на олимпиаде первые 4 места. На вопрос, кто из них какое место занял, они ответили 1) Ольга – второе, Полина – третье, 2) Ольга – первое, Нина – второе, 3) Мария – второе, Полина – четвертое. В каждом из трех ответов одна часть верна, а другая неверна. Какое место заняла каждая из учениц?
Не пользуясь калькулятором, выясните, что больше: произведение корней уравнения 99x2+97x–98=0 или произведение корней уравнения 100x2–98x–99=0?
Пусть AA1 и CC1 высоты остроугольного треугольника АВС. Докажите, чтоAC1 ×AB+CA1 ×CB=АС2.
Найти минимум частного , если x2–10х+у2–2у+1=0.
Заочный экзамен
Экзамен в 9-й класс
Решите систему уравнений
В треугольнике АВС точки Х и Y – проекции вершины A на биссектрисы углов В и С. Найдите длину стороны ВС, если АС=b, АВ=с, XY=l.
Найдите два двузначных числа, если известно, что сумма остальных двузначных чисел в 50 раз больше одного из этих двух чисел.
Найдите все пары натуральных двузначных чисел, удовлетворяющих равенству x2–xy–2х+3y=11.
Найдите углы трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если известно, что АВ=ВС, AC=CD и ВС+CD=AD.
Экзамен в 10-й класс
Решите систему уравнений
Точки X и Y – проекции вершины A треугольника АВС на биссектрисы внешних углов при вершинах B и С. Найдите сторону АВ, если XY=l, ВС=a, АС=b.
Для каких значений a существует b такое, что |7а–3b|≤1 и |5a+7b|≤1.
На сторонах ВС и CD прямоугольника ABCD взяты точки E и F соответственно так, что треугольник AEF – правильный. Найдите площадь треугольника CEF, если SABE=S1, SABF=S2 .
Числа, а, b, c попарно различны и удовлетворяют равенству. Найдите a2b2c2.
АВ, ВK=
ВС. Тогда отношение DO:OL, где O – точка пересечения прямых АK и LD, равно: 
; (С)
; (D) 3; (Е) ни один из ответов A, B, С, D не подходит.
равно:(А) 
; (В) 2
; (С) 
; (D) 0; (E)
– 
≥ 3. Докажите, что для каждого вещественного x выполняется неравенство f(x)≥
.
.
, если x2–10х+у2–2у+1=0.
. Найдите a2b2c2.