Вступительное задание заочного тура в Школу А.Н.Колмогорова на 2003-2004 учебный год

Математика

Для поступающих в 10 класс

1. Существует ли выпуклый многоугольник, число диагоналей которого в 10 раз больше числа его сторон?

2. Найдите последнюю цифру десятичной записи числа

3. Решите систему уравнений

4. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = a и ВС = b окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются друг друга. Найдите АС.

5. В прямоугольном треугольнике ABC проведены биссектрисы BL и СМ. Найдите острые углы треугольника ABC, если угол BLM равен 30°.

Для поступающих в 11 класс

1. Найдите последнюю цифру десятичной записи числа

2. Дан треугольник с периметром 7. Найдите площадь фигуры, состоящей из всех точек плоскости, которые лежат вне треугольника и удалены от его границы не более чем на 1.

3. При каких значениях а уравнения и имеют общий корень?

4. В параллелограмме ABCD высоты BK и BL (точки K и L лежат на сторонах AD и CD) пересекают диагональ AC в точках M и N соответственно. Найдите AB / AD, если AM / NC = 4 / 25, AK / AB = 5 / 7.

5. Решите уравнение

Физика
для поступающих на физ.-мат. отделение

Для поступающих в 10 класс

1. Начальная скорость автомобиля равна нулю. Первую половину пути он движется с постоянным ускорением. На втором участке пути он движется с постоянной скоростью = 18 м/с, которой он достиг в конце первого участка. Найдите среднюю величину скорости автомобиля на всем пути.

2. Плитку, на которую действует сила тяжести P = 5 Н, прижимают к стене силой F = 12 Н, направленной горизонтально. Коэффициент трения скольжения плитки по стене . Найдите силу, действующую на плитку со стороны стены.

3. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости. Величина ускорения шарика в положении наибольшего отклонения нити от вертикали в два раза меньше величины ускорения в момент прохождения положения равновесия. Найдите угол наибольшего отклонения нити.

Для поступающих в 11 класс

1. На рисунке 1 изображен процесс а - b, проведенный с одним молем идеального газа. Параметры состояний связаны соотношением , где  моль. Найдите максимальное значение температуры в этом процессе.

2. Заряд равномерно распределён по окружности радиусом R, расположенной в плоскости xy с центром в начале координат. Потенциал поля в начале координат равен . Найдите работу, которую необходимо совершить, чтобы переместить точечный заряд q из начала координат в точку с координатами x = y = 0, z = R.

3. В схеме на рисунке 2 ёмкости конденсаторов одинаковы, ЭДС батарей равны  = 6 B и  = 3 В. Найдите разность потенциалов точек m и n.

4. Рамка в форме квадрата AKCD, изготовленная из однородного провода, лежит на горизонтальной плоскости. Длина стороны рамки а = 10 см. К точкам A и С присоединяют провода, по которым проходит ток силой I = 1 А от точки С к точке А. Плоскость с рамкой помещают в однородное постоянное магнитное поле с индукцией Тл. Вектор магнитной индукции параллелен направленному отрезку DK. Найдите приращение силы нормального давления рамки на стол.

Химия

Для поступающих на химический поток

1. Предложите три способа получения селенита рубидия Rb₂SeO₃ из различных исходных веществ. Приведите уравнения соответствующих реакций.

2. Колба, заполненная хлороводородом при н.у., соединена трубкой с большой банкой с водой. Благодаря высокой растворимости хлороводорода вода полностью заняла колбу. Какова концентрация получившейся в колбе соляной кислоты: а) в моль/л; б) в % по массе? Изменением плотности раствора и объемом присоединенной к колбе трубки можно пренебречь.

3. Масса смеси кислорода и озона (озонированный кислород) в 9 раз больше массы того же объема гелия при тех же условиях. В каком объемном соотношении нужно смешать этот озонированный кислород с водородом для полного сгорания? Приведите уравнения реакций и соответствующие расчеты.

Архив новостей >>