Вступительное задание заочного тура в Школу А.Н.Колмогорова на 2006-2007 учебный год

Математика

Для поступающих в 10 класс

1. Найдите все трехзначные числа, которые в 17 раз больше суммы своих цифр.

2. Решите уравнение

3. В треугольнике ABC проведена высота AD. Из точки D опущены перпендикуляры DM и DN на прямые AB и AC. Найдите AD, если MN = a, а .

4. Человек обычно приезжал на станцию одним и тем же поездом. К этому времени за ним приходила машина и отвозила его домой. Однажды он приехал на 1 час раньше, пошел пешком, встретил по дороге машину и вернулся домой на 20 минут раньше обычного. Сколько времени он шел пешком?

5. Можно ли отметить на плоскости 225 точек так, чтобы максимальное расстояние между ними было не больше 21, а минимальное – не меньше 3?

Для поступающих в 11 класс

1. Решите систему уравнений

2. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка P, а на стороне CD – точка Q. Отрезки AP и BQ пересекаются в точке M. Прямая DM пересекает BC в точке N. Найдите BN / NC, если CP = 2BP, .

3. Пусть  – корень уравнения . Вычислите

4. Найдите площадь выпуклого равностороннего пятиугольника ABCDE, если AB = a, , BE = b.

5. См. задачу 5 для поступающих в 10 класс.

Физика
(физико-математическое отделение)

Для поступающих в 10 класс

1. Частица движется по оси x из начала координат с постоянным ускорением в течение промежутка времени . Начальная скорость равна нулю. Через промежуток времени  ускорение изменяет знак на противоположный, и частица проходит начало координат со скоростью v_2x = -u. Найдите максимальное расстояние x_m, на которое частица сместилась от начала координат.

2. На высоте h частице придали горизонтально направленную начальную скорость v₀. При отскоке от горизонтальной плоскости отношение величины вертикальной составляющей скорости после отскока к величине вертикальной составляющей скорости до отскока равно k. Найдите расстояние s от плоскости бросания до точки второго отскока. Плоскость следует считать гладкой.

3. Коробка массой m₁ с гладким дном, в которой находится груз массой m₂, скользит по гладкой наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтальной плоскостью. Найдите модуль F силы давления груза на переднюю стенку коробки.

4. Брусок, на который действует сила тяжести F = 5H, прижимают к стенке силой F₁ = 12Н, направленной горизонтально. Коэффициент трения между стенкой и бруском  = 0,6. Найдите величину R силы реакции, действующей на брусок со стороны стенки.

5. В глубоком аквариуме плавает цилиндр высотой H. Глубина погружения цилиндра H' = 0,8H. В аквариум доливают жидкость, всплывающую в воде. Когда слой жидкости доходит до торца цилиндра, толщина слоя на поверхности воды достигает значения b = 0,5H. Найдите плотность жидкости .

Для поступающих в 11 класс

1. На гладкой горизонтальной плоскости лежит частица массой m. На нее налетает частица массой m с кинетической энергией K. После неупругого нецентрального соударения величины скоростей частиц одинаковы, а угол между скоростями . Найдите приращение внутренней энергии частиц .

2. Одинаковые массы водорода и гелия находятся в сосуде объемом , который отделен от пустого сосуда объемом  полупроницаемой перегородкой, пропускающей только молекулы водорода. После установления равновесия давление в первом сосуде уменьшилось в два раза. Найдите отношение .

3. В тепловой машине Карно, совершающей работу A', изотермическое расширение происходит при температуре T₂, а изотермическое сжатие – при температуре T₁. Найдите работу A'_K, совершаемую машиной при изменении температуры нагревателя и холодильника .

4. На концах гладкой непроводящей трубки длиной 2s закреплены положительные заряды одинаковой величины Q. На расстоянии b (b < s) от середины трубки помещают заряд q > 0 массой m. Начальная скорость заряда равна нулю. Найдите величину скорости этого заряда v₁ в момент прохождения заряда через середину трубки.

5. В схеме на рисунке сопротивления резисторов R₁, R₂, R₃ одинаковы. Разности потенциалов равны , U = 110 В, , U₂ = 60 В. Найдите напряжение  на резисторе R₄.

Химия

Для поступающих на химико-биологическое отделение

1. Два грамма кальция сожгли в избытке кислорода, продукт сгорания поместили в воду и пропустили в полученную взвесь оксид серы (IV) до прекращения поглощения газа. Определите состав и массу образовавшейся соли. Какой объем оксида серы (IV) (при н.у.) может быть получен из данной соли при обработке ее серной кислотой?

2. В лаборатории есть смесь карбонатов стронция и бария. Как химическим способом определить массовую долю каждого из карбонатов в смеси, если есть широкий выбор химической посуды, весы, но из реактивов имеется только 20%-я соляная кислота? Опишите ход анализа и вычисления.

Архив новостей >>