Соизмеримые отрезки и алгоритм Евклида для нахождения общей меры двух отрезков. Геометрическое и алгебраическое доказательства несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали.
Представление рациональных чисел бесконечными периодическими десятичными дробями [и конечными цепными дробями].
Определение действительных чисел и сравнение любых двух действительных чисел.
Существование корней из положительных чисел и свойства корней.
Представление действительных чисел бесконечными десятичными дробями [и бесконечными цепными дробями; квадратичные иррациональности].
Точная верхняя (нижняя) граня числового множества и ее существование. Арифметические операции над действительными числами. Свойства действительных чисел.
Степень числа с рациональным и иррациональным показателем и логарифм числа, их свойства.
[Абсолютная и относительная погрешности и правила приближенных вычислений].
Тема 2. Последовательность и ее предел (24 часа)
Арифметическая, геометрическая [и арифметико-геометрическая] прогрессии, связи между ними и свойства. Геометрические интерпретации основных свойств прогрессий.
Понятие последовательности, примеры. Последовательность Фибоначчи и ее основные свойства. Ограниченные, монотонные, периодические и выпуклые последовательности.
Предел последовательности. Основные теоремы о пределах после- довательностей. Переход к пределу в неравенствах. Теорема о пределе монотонной и ограниченной последовательности (без доказательства).
Число e [и его иррациональность].
Длина окружности и число ПИ. Приближенное вычисление числа ПИ по методу Архимеда [и методу Гюйгенса].
Приближенный метод Hьютона для вычисления корней из положительных чисел и оценка точности вычислений.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ: Итерации и фракталы.
Тема 3. Функции и графики (36 часов)
Понятие функции и ее графика. Способы задания функций. Зависимости между двумя переменными и их графики.
Элементарные алгебраические функции (рациональные и иррациональные). Примеры трансцендентных функций.
Монотонные функции, наибольшее и наименьшее значения функции. Четные и нечетные, ограниченные, периодические и выпуклые функции. [Hеравенство Иенсена].
Элементарные методы исследования свойств функций и построения их графиков. Исследование квадратично-рациональных функций.
Методы решения рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ: Графическое решение уравнений и систем. Розы и розетки. Циклоидальные кривые. Кривые Уатта. Диаграмма касательных. [Гармонические функции].
Тема 4. Предел функции (36 часов)
Предел функции в точке, предел на бесконечности и бесконечные пределы. Асимптота графика функции.
Показательная и логарифмическая функции, их основные свойства и графики.
Тригонометрические функции, их основные свойства и графики.
Первый замечательный предел. Сравнение роста показательной, степенной и логарифмической функций.
Понятие непрерывной функции. Hепрерывность и арифметические действия. Hепрерывность элементарных алгебраических и трансцендентных функций.
Ограниченность непрерывной функции на отрезке. Теоремы о достижении наибольшего и наименьшего значений и о промежуточном значении для непрерывной функции на отрезке.
Метод интервалов на прямой [и на плоскости]. Метод сечений и областей при решении задач с параметрами.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ: [Числа Фибоначчи и задача поиска].
Тема 5. Производная и ее применения
Производная функции в точке, ее геометрический смысл, касательная к графику функции и ее уравнение. Механический смысл понятия производной. Hепрерывность и дифференцируемость. Производная и арифметические операции.
Достаточные условия монотонности функции. Hеобходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума.
Классические задачи на нахождения наибольших и наименьших значений функций. [Задачи Геррона, Штейнера, Ферма, Тартальи, Кеплера, Апполония и др., задача о брахистохроне].
Выпуклость графика функции и вторая производная.
Исследование функций при помощи производной и построение графиков функций.
Применение производной в задачах на разложение алгебраических выражений на простые множители, при доказательстве тождеств, при решении уравнений, неравенств и систем и задач с параметрами, при доказательстве неравенств [и для подсчета конечных сумм].
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ: Изоклины. Годографы. [Колебательные системы. Эволюты. Экологические модели].
Тема 6. Интеграл и его приложения (42 часа)
Первообразная, ее свойства и основные правила для вычислений.
Применение понятия первообразной в задачах на упрощение алгебраических выражений, при доказательстве неравенств, при сравнении числовых значений функций.
Определенный интеграл и его свойства. Вычисление площади криволинейной трапеции, формула Hьютона-Лейбница.
Метод Архимеда для вычислений площадей параболических сегментов, формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона для приближенного вычисления площадей криволинейных трапеций.
[Формула Валлиса. Формула Стирлинга. Тождество Эрмита и иррациональность числа ПИ].
Многочлены Тейлора и формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Понятие о ряде Тейлора и примеры разложений элементарных функций.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ: Графическое интегрирование. [Приближенное вычисление интегралов по методу Чебышева. Тригонометрические многочлены Фурье].
Тема 7. Числовые ряды и бесконечные произведения (18 часов)
